函数求导

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本文介绍高等数学中的函数求导

求一个函数的导数，即求出该函数的导数表达式，是微积分中的一个基本问题。不同类型的函数有不同的求导规则，以下是一些常见的求导规则：

1. 常数规则：

$(c)^{'} = 0$

其中，(c) 是常数。

2. 幂函数规则：

$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$

其中，(n) 是常数。

3. 求和规则：

$(f (x) + g (x))^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

4. 乘积规则：

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

5. 商规则：

$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g (x)^{2}}$

6. 复合函数规则（链式法则）：

$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

其中，(f(x)) 和 (g(x)) 是关于 (x) 的函数，而 (f'(x)) 表示函数 (f(x)) 的导数。

这些规则是求导的基本规则，可以用来求解大部分常见函数的导数。对于更复杂的函数，可能需要使用更高级的微积分技巧，如隐函数求导、参数方程求导等。

7. 指数函数规则：

$a^{x}$ 的导数规则如下：

如果 $(y = a^{x})$ （其中，(a) 是常数且不等于1），那么 (y) 对 (x) 的导数为：

$(y)^{'} = \frac{d y}{d x} = a^{x} \cdot \ln (a)$

其中，( $\ln (a)$ ) 表示 (a) 的自然对数，即以 (e) 为底的对数。这个规则适用于任何以常数为底的指数函数。特别地，当 (a = e)（自然对数的底）时，导数公式简化为：

$y = e^{x}$

$(y)^{'} = \frac{d y}{d x} = e^{x} \cdot \ln (e) = e^{x}$

这意味着 $(e^{x})$ 的导数是它自身，这也是为什么 $(e^{x})$ 出现在许多数学和科学应用中的原因。

$y = e^{- x}$

$(y)^{'} = (e^{- x})^{'} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{(1)^{'} \cdot e^{x} - 1 \cdot e^{x}}{(e^{x})^{2}} = \frac{- 1 \cdot e^{x}}{e^{2 x}} = - e^{x - 2 x} = - e^{- x}$

8. 三角函数规则：

1.正弦函数 $s i n (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (s i n (x)) = c o s (x)$

2.余弦函数 $c o s (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (c o s (x)) = - s i n (x)$

3.正切函数 $t a n (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (t a n (x)) = - s e c^{2} (x)$

4.反正弦函数 $a r c s i n (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (a r c s i n (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

5.反余弦函数 $a r c c o n s (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (a r c c o n s (x)) = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

6.反正切函数 $a r c t a n (x)$ 的导数

$\frac{d}{d x} (a r c t a n (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}}$