有理根定理

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有理根定理

有理根定理（Rational Root Theorem）是代数学中的一个基本定理，用于判断多项式方程是否有有理数解。如果一个整系数多项式方程存在有理根，那么这个有理根可以表示为分数的形式 $(\frac{p}{q})$ ，并满足以下条件：

定理内容

对于一个整系数多项式：
$[f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}]$
其中 $(a_{n} \neq 0)$ 且 $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ 是整数。如果该多项式存在有理根 $(\frac{p}{q})$ （其中 $(p)$ 和 $(q)$ 为互素整数），则：

$(p)$ （分子）必须是常数项 $(a_{0})$ 的一个因数；
$(q)$ （分母）必须是最高次项系数 $(a_{n})$ 的一个因数。

应用步骤

确定多项式的常数项 $(a_{0})$ 和最高次项系数 $(a_{n})$ 。
列出 $(a_{0})$ 的所有因数（正负）。
列出 $(a_{n})$ 的所有因数（正负）。
形成所有可能的有理根 $(\frac{p}{q})$ ，其中 $(p)$ 是 $(a_{0})$ 的因数， $(q)$ 是 $(a_{n})$ 的因数。
将这些可能的有理根代入多项式，验证是否成立。

示例

求多项式 $(f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3)$ 的所有可能有理根。

常数项 $(a_{0} = 3)$ ，最高次项系数 $(a_{n} = 2)$ 。
$(a_{0} = 3)$ 的因数： $(\pm 1, \pm 3)$ 。
$(a_{n} = 2)$ 的因数： $(\pm 1, \pm 2)$ 。
可能的有理根为：
$[\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}]$
将这些值逐一代入 $(f (x))$ ，验证哪些是根。

注意事项

如果方程的根不是有理数（例如无理数或复数），有理根定理无法帮助发现它们。
有理根定理仅提供可能的候选根，是否真的是根需要进一步验证。

如有错误，请联系修订~