x的x无穷幂塔等3求解

Jack原创大约 4 分钟

x的x无穷幂塔等3求解

背景

最近无意间看到一个初中的奥数题, 题目是: $x^{x^{x^{x^{\dots}}}} = 3$ , 求x 的值是多少？

解题过程

要解决方程 $x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ ，我们首先要理解这是一个无穷递归幂塔。我们可以将其表示为一个固定点问题。设 $y = x^{x^{x^{x^{\dots}}}} = 3$
根据题意，我们有： $y = x^{x^{x^{x^{\dots}}}} ⟹ x^{y} = y ⟹ 3 = x^{3} ⟹ x = \sqrt[3]{3}$
从而： $x = \sqrt[3]{3}$

其他参考的通用解题方法

方法一：固定点法(解题过程的方法)

假设 $y = x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ ，则 $y$ 满足：

$y = x^{y}$

根据题目给出条件 $y = 3$ ，代入方程：

$3 = x^{3}$

解得：

$x = \sqrt[3]{3}$

我们可以验证这个解：

计算 $x$ 的值：

$x = \sqrt[3]{3} \approx 1.442249$

验证 $x^{3}$ 是否等于 3：

$(\sqrt[3]{3})^{3} = 3$

所以 $x = \sqrt[3]{3}$ 是一个解。

方法二：幂塔逼近法

我们可以通过构造幂塔并逐步逼近来验证这个结果。

令 $x = \sqrt[3]{3}$ ，然后计算逐步逼近的结果：

$x_{1} = \sqrt[3]{3} \approx 1.442249$
$x_{2} = (\sqrt[3]{3})^{x_{1}}$

x_{2} = {1.442249}^{1.442249} \approx 1.728

$x_{3} = (\sqrt[3]{3})^{x_{2}}$

x_{3} = {1.442249}^{1.728} \approx 2.134

$x_{4} = (\sqrt[3]{3})^{x_{3}}$

x_{4} = {1.442249}^{2.134} \approx 2.535

逐步计算下去，我们会发现这个序列收敛于 3。

方法三：迭代法

迭代法是一种通过反复应用函数来逼近解的方法。设 $f (x) = x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ ，我们可以从一个初始值开始进行迭代：

令 $x_{0} = 1.5$ ，然后定义迭代函数 $f (x) = 3^{1 / x}$ ：

$x_{1} = 3^{1 / x_{0}}$

x_{1} = 3^{1 / 1.5} \approx 1.817

$x_{2} = 3^{1 / x_{1}}$

x_{2} = 3^{1 / 1.817} \approx 1.566

$x_{3} = 3^{1 / x_{2}}$

x_{3} = 3^{1 / 1.566} \approx 1.674

不断迭代， $x_{n}$ 会收敛到 $\sqrt[3]{3}$ 。

举一反三

我们可以将这个问题推广到其他形式的无穷递归幂塔。例如，求解 $x^{x^{x^{x^{\dots}}}} = k$ ：

假设 $y = x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ ，则 $y = k$ ，于是有 $k = x^{k}$ 。
通过求解 $x = k^{1 / k}$ ，得到 $x$ 的值。

例如：

当 $k = 4$ 时，解得 $x = 4^{1 / 4} = \sqrt[4]{4}$ 。
当 $k = 2$ 时，解得 $x = 2^{1 / 2} = \sqrt{2}$ 。

通过上述方法，我们可以解决多种形式的无穷递归幂塔问题。

什么是幂塔

幂塔（Power Tower），也称为递归指数或指数塔，是一个数学表达式，其中一个数的指数是另一个数，其指数是另一个数，以此类推。例如，一个简单的幂塔的形式是：

x^{x^{x^{x^{\dots}}}}

具体来说，幂塔是通过不断将相同的数作为指数形成的表达式，形式上可以写成：

a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{a_{4}^{\dots}}}}

在这种表达式中，指数从右向左计算，即从内到外。考虑下面的例子来进一步说明幂塔：

具体例子

例子 1

2^{3^{2}}

这个幂塔表示的含义是 $2$ 的 $3$ 的平方次方，即：

2^{3^{2}} = 2^{9} = 512

例子 2

3^{2^{2}}

这个幂塔表示的含义是 $3$ 的 $2$ 的平方次方，即：

^{2^{2}} = 3^{4} = 81

无穷幂塔

当幂塔的层数趋于无穷时，形成无穷幂塔。形式上表示为：

x^{x^{x^{x^{\dots}}}}

收敛性

并不是所有的幂塔都会收敛到某个有限值。幂塔是否收敛取决于底数 $x$ 的值。例如：

当 $x$ 在某些范围内时（例如 $0 < x \leq \sqrt[3]{3}$ ），无穷幂塔会收敛。
超过某些范围时，幂塔可能会发散（趋向无穷）。

总结

幂塔是一种通过不断对数进行指数运算形成的数学表达式。无穷幂塔的研究涉及固定点和收敛性的问题，通过特定的求解方法可以找到其固定点，并判断其是否收敛。

如有错误，请联系修订~