合成除法简介和核心思想

合成除法（Synthetic Division）是一种用于快速计算多项式除法的简化方法，特别适合用来将一个多项式 $(f(x))$ 除以形如 $(x-c)$ 的一次多项式时。相比于传统的长除法，合成除法更为简洁和高效，减少了大量书写工作。

合成除法利用一次多项式 $(x-c)$ 的结构特性，通过逐步更新系数，快速求得商多项式和余数。

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合成除法步骤

假设有多项式：
$[f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0]$
需要用 $(x-c)$ 来除。

步骤：

1. 列出系数：
   将多项式的各项系数（包括零系数）按降幂顺序排列。例如，$(f(x)=2x^3-3x^2+0x+5)$，系数为 $([2,-3,0,5])$。

2. 写下除数 $(c)$：
   如果除式是 $(x-c)$，则写下 $(c)$ 的值。

3. 进行计算：

   • 第一步：将多项式的最高次项系数（第一个系数）直接抄下来。
   • 递归计算：将抄下来的值与 $(c)$ 相乘，把结果加到下一列的系数上，得到新的值。
   • 重复步骤直到处理完所有系数。

4. 结果解释：

   • 最后一列的值是余数 $(r)$。
   • 前面生成的数字是商多项式的系数。

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示例

用 $(x-2)$ 除多项式 $(f(x)=2x^3-6x^2+2x-4)$。

1. 列出系数和除数：

系数：$[2,-6,2,-4]$
除数：$(c=2)$

2. 计算过程：

系数	2	-6	2	-4
第一步	2
乘 $(c=2)$		$(2\times 2=4)$
加法		-6 + 4 = -2
乘 $(c=2)$			$(-2\times 2=-4)$
加法			2 + (-4) = -2
乘 $(c=2)$				$(-2\times 2=-4)$
加法				-4 + (-4) = -8

3. 结果：

商多项式的系数是 $[2,-2,-2]$，即：
$[f(x)÷(x-2)=2x^2-2x-2]$
余数为 $(-8)$。

因此：
$[f(x)=(x-2)(2x^2-2x-2)-8]$

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优势

1. 更快：减少了长除法中冗长的计算和书写。
2. 高效：适合一次性处理多个根（如寻找多项式的有理根）。
3. 易用：特别适合简单除法，尤其是 $(x-c)$ 形式。

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注意事项

• 合成除法仅适用于一次多项式 $(x-c)$ 的除法。如果除式是更高次多项式，需要使用传统长除法。
• 输入系数时要注意保持原多项式的降幂顺序，漏掉的幂次要补零。

如有错误，请联系修订~